Conjuntos Numéricos

Operaciones con Números Enteros

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI  mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes,  que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras.  Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel  (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso  entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).


OPERACIONES EN Z (CON ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

 SUMA EN Z (CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS)

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejermplos :        – 3   +  – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

                         12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo:          – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  –  7  =   5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de  +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).

                    5   +   – 51   =   – 46   ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

                   – 14  +   34   =    20

RESTA EN Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)         Cambiar el signo de la resta en suma y

b)         Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej:     –3  –  10    =   –3    +  – 10  =    –13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)

            19  –   – 16    =      19   +   ⁺  16   =     19   +    16    =    35

 MULTIPLICACION Y DIVISION EN Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+   •    +    =    +

 

–   •   –     =    +

+   •   –     =   –

–  •   +     =   –

Ejemplos:   – 5   •    – 10   =    50    (  5  •   10   =    50 ;   –  •   –   =   + )

                     12  •    – 4    =   – 48    (  12 •   4   =     48;:    + •  –   =   – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).

Ver: Conjuntos Numéricos

Ejemplo de Números Enteros en la Vida Diaria

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

 

El Conjunto De Los Números Enteros

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

Historia de las Matemáticas

Desde el tercer milenio antes de Cristo los pueblos que habitaron entre los ríos Tigris y Eúfrates nos han dejado miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas apaprecen manifestaciones matemáticas que nos han permitido descubrir desde su sistema de numeración en base 60 a sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras
De su afición a las observaciones astronómicas acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares:
- El horóscopo. Eran excelentes astrólogos, ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales.
Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.
- De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.  Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.

Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad.

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